원의 넓이를 구해봐요.
원의 넓이를 구하기 전에 우리는 원주율이라는 말을 알아야 해요.
원주율은 원의 지름에 대한 원의 둘레의 비율을 의미해요.
이 말이 무슨 말이냐면 말이죠. 다음 그림을 한 번 살펴보아요.
위의 그림처럼 반지름이 1인 원을 그렸다고 생각해 보아요. 반지름이 1이므로 원의 지름은 2가 되어요.
원의 둘레의 길이를 잘라서 평행한 선으로 만들었다고 하면, 이 길이는 원의 지름보다 약 3.14배가 더 길게 되는 것이에요.
이를 식으로 나타내면 원주율을 다음과 같이 나타낼 수 있어요.
원주율 = 원의 둘레 ÷ 원의 지름
지름의 길이가 2가 아니고 다른 숫자가 되어도 원의 둘레는 그 숫자의 비율만큼 크거나 작게 되므로 결국엔 지름에 대한 원의 둘레비는 항상 일정하게 되는 것이지요.
이 원주율, 즉 원의 지름에 대한 둘레의 비율은 어림잡아 보면 3.14배 정도 되지만, 이 비율을 정확하게 계산하면 끝이 없이 불규칙적으로 끝이 없어요. 그래서 이 원주율은 간략하게 π(파이)라고 써요.
이 π는 수학에서 아주 중요한 개념이에요. 얼마나 중요하나면, 3월 14일은 세계적으로 파이(π)의 날로 수학자들은 기념하고 있어요. 다른 기호를 기념하는 날을 특별하게 없는데 말이죠.
이제 이 파이를 이용해서 원의 넓이를 구해 보도록 해요.
다음 그림을 먼저 볼까요?
위 그림처럼 반지름의 길이가 1인 원을 똑같이 10개로 나누었다고 생각해 봐요.
이렇게 나눈 원을 다음과 같이 배열해요.
꼭 이빨이 겹친 것처럼 보이네요. 위 그림을 자세하게 보면, 빨간색으로 표시된 아래 둥근 길이의 합은 원의 둘레 길이의 딱 반이에요.
원을 더 작게 잘라볼까요?
원을 아래와 같이 더 여러 개로 똑같이 나누어서 위와 같은 방식으로 다시 배치해 보아요.
아래 그림을 보면 평행사변형처럼 되었네요.
이 원은 끝이 없도록 똑같이 자른 후 다시 배치하면 어떤 모습이 될까요?
그래요, 그러면 아래와 같이 거의 직사각형이 되어요.
원을 자르면 위와 같이 직사각형의 모습이 되는 것이며, 위 직사각형의 넓이(원의 넓이)는 다음과 같이 쓸 수 있어요.
원둘레의 반 x 원의 반지름
맨 위에서 다음과 같이 원주율을 나타낸다고 했던 것을 다시 한번 가져와 봐요.
원주율 = 원의 둘레 ÷ 원의 지름
위 식에서 원의 둘레를 구하면 다음과 같아요.
원의 둘레 = 원주율 x 원의 지름
원의 둘레가 "원주율 x 원의 지름" 이므로, 원둘레의 반은 결국 "원주율 x 원의 반지름"이 되어요.
따라서 원의 넓이는 "원둘레의 반 x 원의 반지름"이라고 했으므로 "원주율 x 원의 반지름 x 원의 반지름"이 되는 것이지요.
원주율을 π라는 기호로 써서 나타내면 다음과 같아요.
원의 넓이 = 원주율 x 원의 반지름 x 원의 반지름 = π x 반지름 x 반지름